集合的上下极限

发表于 2022-11-24 分类于 math

集合的上下极限定义

集合序列的极限和数列的极限，函数的极限都有着相同之处。它们本质上都是想找到“集合序列”，‘数列’，‘函数’最主要的特性，换句话来说就是剔除有限项元素的影响。

比如说数列：
a_1=3.24234, a_2=1000, a_3=-1000, …, a_n=1+1/n

这个数列虽然前三项没有规律，但是如果去掉这三项，将是一个非常优美的单调收敛于1的数列。

上极限

对集合的先做并再做交集，可以把上极限理解为在无穷个集合中都存在的元素的集合，而且这种运算不会取到空集，限制相对来说比较宽松。

对集合的先做交再做并集，可以把下极限理解为只在有限个集合里不存在的集合，相对于上极限来说，限制比较严格。

上极限中先做并集，可以保证集合是不为空的，再做交集，就相当于从这些并集中剔除不符合条件的集合。并集后，集合集一个接一个的做交集，即使有某些集合是只属于有限个集合集，在以后无限的交集运算中，也会很快被剔除掉。

假设{Cn}， n=1,2,3,….

C1 = {1, a}
C2 = {0, b}
C3 = {1, b}
C4 = {0, b}
C5 = {1, b}
…..

根据公式计算，
上极限: {0, 1, b}
下极限: {b}

为什么下极限中没有{0, 1}呢？这是因为，虽然它们存在于无数多个集合中，但同样的，也有无数多个集合中没有{0}和{1}。

上下极限都可以把只出现了有限次的元素筛除，而下极限还可以筛除出现了无限次同时也缺席了无限次的元素，因此集合的下极限被包含于上极限。