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啥是微积分
微积分可以从刘徽割圆术的思想来看，一个函数或者曲线不好计算，就是通过无限细分(微分)，用线性部分叠加计算原始函数和曲线长度、面积或者体积等度量的一个过程(积分)，其中误差是在无限细分过程中逐渐趋近于0的，简单点来说就是用线性过程模拟逼近曲线过程。
微积分是对无穷小量的研究，这个无穷小量就是无限细分中产生的这个量，这个量被线性化了。
这个无穷小量又是确定微积分是否正确的根据，无穷小量的研究就自然而然的涉及到一个叫极限的概念，最后柯西解决了无穷小量的问题，最后魏尔斯特拉斯给出了极限的数学语言描述。
经过柯西和魏尔斯特拉斯创建和完善极限，形成极限理论后，微积分的数学基础就算建立了，就不再用以前刘徽割圆术那种无限细分再求和的方式来研究微积分了。
无限细分再求和的方式会产生无穷小量的问题，我们并不知道细分到何种程度，无穷小量才算到头，这就会产生所谓的芝诺悖论，就是你永远也无法到达终点的问题。这个过程是个动态过程，通过连续动态的方式不断的逼近来理解定义极限，这个时候，你就永远也不能确定这个无穷小量何时才是个头。
柯西的极限理论反了过来，他认为当一个变量相继的值无限地趋近某个固定值的时候，如果它同这个固定值之间的差可以随意地小，那么这个固定值就被称为它的极限。这个定义的核心在于，如果它同这个固定值之间的差可以随意的小，那么这个固定值就是极限。
这里有个重大的却别就是，可以随意的小和主动去无限逼近是完全不一样的。这样对于无穷小量来说，只要给出一个数，我就能让无穷小量和0之间的差比给的数更小，这样就完美的避开了去动态追寻无穷小量到底是多小才算到头的问题。
有了极限理论，从现在再看积分求面积，我们就可以把曲线围成的面积看成是一个极限，而不再是无数个无穷小量的矩形面积之和。
啥是黎曼积分
黎曼积分就是我们平时所说的微积分，通过极限理论，黎曼积分的定义和曲线围成的面积类似，就是：
首先把函数的定义域分割成小区间（称为定义域的划分），然后用这些区间的函数在这些区间上的值 与相对应区间求积，然后把这些积加起来称为积的和A，然后任意给定一个数a，都可以找到一种定义域的划分，使得这个积的和A与某个数值S之差都比这个给定的数a小，我们就把这个数值S称为函数的黎曼积分和。
但是又有一个问题，比如狄利克雷函数(x为有理数的时候值为1，x为无理数的时候值为0)这种，由于实数的连续稠密性，所以狄利克雷函数在任意一个地方都不连续，就没法求黎曼积分，简称在黎曼积分下不可积。
如果函数能黎曼可积，必须是函数有界，且几乎处处连续，也就是函数要基本上是连续的才行，这就导致能黎曼可积的函数比较少，要求条件多，比如一致收敛啥的。
啥是勒贝格积分
一个函数到底要满足什么条件才是可以求积分的呢？勒贝格给出了一个函数是否可积的判断条件。
积分的几何意义是曲线围成的面积，黎曼积分的定义是建立在对区间长度的分割的基础上的。因此，人们自然会考虑到如何把长度、面积等概念扩充到更广泛的集合类上。
勒贝格积分是在“任意”集合上考虑的，所以必须给这个点集合一个适当的度量，所以勒贝格把我们常见的长度、面积概念做了一个扩展，得到了更一般的测度的概念。
集合的测度与可测性的推广将意味着函数的积分与可积性的推广，勒贝格积分正是建立在勒贝格测度理论的基础上的， 它是黎曼积分的扩充。
黎曼积分和勒贝格积分联系
从两种积分的的定义知，黎曼积分是对函数的定义域划分，勒贝格积分是对函数的值域划分，这是勒贝格积分与黎曼积分的本质区别。
有个关于勒贝格积分和黎曼积分区别的一个通俗说法解释。有一摞钱，各种面值的都有，要得出这一摞钱的总金额，有两种方式:
- 第一种就是把这些钱一张接一张的挨着计算求和，最后得到总金额；
- 第二种方式就是先不数，先把这摞钱按照面值分类，然后把每一种面值的钱计算出金额，再把各个面值的金额加起来就是总金额。
黎曼积分的优点是划分后的小区间长度容易给出，但是函数在其上的振幅可能较大，从而使得很多函数是黎曼不可积的；而勒贝格积分的优点是函数在函数值上的振幅一定不超过划分的细度，因此可测集上的有界函数都是勒贝格可积的，勒贝格积分在很大程度上扩大了可积函数类。
勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立的，这一理论可以统一处理函数有界与无界的情形，而且被积函数也可以定义在更一般的点集上。