哥德尔不完备定理
我对这以普遍科学的用处和实在性越来越深信不疑，我发现极少有人理解它的范围…..这种文字是由某种符号或语言构成的…..它们完全代表了我们观念之间的关系。这些字符将与迄今为止所想到的字符都极为不同。因为人们已经忘记了一条原理，即这种文字的字符将会有助于发明和判断，就像在代数和算术中那样。这种文字将带来巨大的好处，对我来说，其中有一点尤为重要，那就是用这些字符是写不出在我们看来荒诞不经的想法的。一个无知的人将无法使用它，或者，通过努力学习使用它，他本人将变得博学多才。
哥德尔是谁
哥德尔是20世纪最伟大的数学家和逻辑学家，是奥地利裔美国著名数学家，不完备性定理是他在1931年提出来的。
什么是哥德尔不完备定理
前提条件：
至少蕴含了皮亚诺算术公理
第一定理：
任意一个包含一阶谓词逻辑与初等数论的形式系统，都存在一个命题，它在这个系统中既不能被证明为真，也不能被证明为否。
第二定理：
如果系统S含有初等数论，当S无矛盾时，它的无矛盾性不可能在S内证明。
此处的完备解释
对于任何可在这个公理体系内描述的命题，都可以在这个公理体系内得到判定，要么是正确的，要么是错误的。
哥德尔不完备定理解释
一个足够复杂的公理体系，如果它是一致的（相容的，无矛盾的），那么它就是不完备的。
再通俗一些来说，一个没有矛盾的公理体系内，总有一些命题是说不清楚对还是错的。
哥德尔是通过构造出了一个无法在这个公理体系内证明的命题来证明出“哥德尔不完备定理”的。
这个命题的内容说的正是“命题自身无法在此公理体系内被证明”，既然哥德尔已经清楚的证明了这一点，说明这个命题毫无疑问是正确的。
所以，“哥德尔不完备定理”的证明过程其实告诉了我们，存在一个可在这个公理体系内表达的正确的命题，但是在这个公理体系内却既不能证明它，也无法证伪它。
哥德尔认为自己的不完全性定理表明，存在一些确实为真的东西是人为构造的逻辑系统无法达到的，这些确实为真的东西就是数学的理念世界，它们跟人无关，它们有自己确定的真值，不论人有没有去研究它。
意义
譬如在数学上，如果发现一个命题通过现有的方法、公理和定理一直得不到证明，我们就可以尝试扩展现有的方法和公理体系来进一步研究；费马大定理、黎曼猜想等命题被称为“会下金蛋的母鸡”就是这个道理。